FIZIKALAND

A „kelta kő” (angolul „celtic stone”, vagy „rattleback”) egy első ránézésre egyszerű, leginkább hajótestre emlékeztető alakú tárgy, a viselkedése azonban igen meglepő. A kelta követ domború felületével lefelé sima, vízszintes felületre (pl. asztallapra) helyezve pörgessük meg az óramutató járásával egyező, majd ellentétes irányban. Különös módon azt tapasztaljuk, hogy a kétféle forgatásra a kő nem azonos módon viselkedik. Az egyik irányba megpörgetve a várakozásnak megfelelően fokozatosan lassulva leáll a forgás, a másik irányú kezdőpörgetés esetén azonban sokkal gyorsabban áll le, sőt elkezd az ellenkező irányban forogni! Az alábbi videón megnézhetik ezt a különös viselkedést.

A fokozatosan lassuló leállás teljesen megfelel a fizikai képünknek, mivel nem sérti sem az energia-törvényt, sem az impulzusmomentum-törvényt, hiszen nyilvánvalóan a súrlódási erő munkája „emészti fel” a kezdeti kinetikus energiát, ugyanezen súrlódási erő forgatónyomatéka pedig az kezdeti impulzusmomentumot. Viszont a másik irányú kezdeti pörgetésre létrejövő mozgás úgy tűnik, hogy durván megsérti mindkét törvényt! Érthetetlen például az, hogy a forgás előbb leáll, ekkor az energiája nulla, majd elkezd az ellenkező irányban forogni, tehát a semmiből újra lesz kinetikus energiája. A legtöbb emberben az a gyanú ébred, hogy a kő belsejében van valami, ami ezt a paradox viselkedést okozza: például mágnes lapul benne, vagy a kő anyaga nem homogén. Ezzel szemben a helyzet az, hogy a kelta kő anyaga tökéletesen homogén, semmiféle „belső szerkezete” nincs, viszont az alakja igen speciális, bár látszólag szimmetrikus alakú, valójában egyetlen szimmetriatengelye sincs. A fizikai magyarázat a stabil és instabil szabadsági fokok (mozgási modusok) közötti csatolás következtében zajló aszimmetrikus energiaáramlásban rejlik. Belátom, hogy az előbbi mondat részletesebb kifejtésre szorul, haladjunk hát rajta végig lépésenként.

A szabadsági fok egy anyagi rendszer állapotának egyértelmű megadásához szükséges, egymástól független dinamikai változók száma. Energetikai nézőpontból is definiálhatjuk: ekkor a független energiatárolási lehetőségek számát jelenti, azaz ahány tagja van a teljes energiát megadó összegnek, energetikai értelemben akkora a rendszer szabadságfoka. Az egyes dinamikai változókban megjelenő mozgásformákat nevezzük modusoknak. A lehetséges mozgási modusok közül stabilnak nevezzük azokat, amelyek hosszú ideig fennmaradnak, míg az instabilak rövid idő alatt eltűnnek. A dinamikai változók - és a hozzájuk tartozó modusok – akkor csatoltak, ha azok időbeli változását megadó differenciálegyenletek csatoltak, azaz szerepelnek egymás vezérlőfüggvényeiben. A csatolt (egymással kölcsönhatásban levő) szabadsági fokok (illetve azokhoz tartozó modusok) között energiacsere történik, amelyre legismertebb példaként említeném a hőtanban tanult ekvipartíció tételét, amelyben a gáz részecskéi között az ütközések révén történő energiaátadások során jön létre az egyenletes energia-eloszlás.

Egyszerű példaként tekintsük az ún. Wilberforce-ingát. A Wilberforce-inga egy lágy csavarrugóból és a ráakasztott testből áll. Olyan rugót kell választani, amely a szokásos hosszanti rezgések mellett viszonylag nagy amplitúdójú forgási (torziós) rezgésbe is hozható. (Ez úgy tehető meg, hogy a felfüggesztett rugót az ingatestnél fogva hosszának változtatása nélkül elcsavarjuk és elengedjük.) A Wilberforce-inga inga szabadsági fokainak száma 4, mivel energiát négy független módon tárolhat: a rugó megnyúlása által a z függőleges kitérésben, a ráakasztott test függőleges mozgása által a v függőleges sebességben, a rugó elcsavarodása által a θ szögelfordulásban, és a ráakasztott test forgása által az ω szögsebességben. A Wilberforce-ingának két mozgási modusa van: a függőleges rezgés és a függőleges tengely körüli forgás. Az ingát úgy kell elkészíteni, hogy a rezgés és a forgás sajátfrekvenciája (közelítőleg) megegyezzék, ebben az esetben a v sebesség és ω szögsebesség által leírt rezgési és forgási modusok csatolódnak, a matematikától nem megrettenők számára megmutatom a mozgásegyenleteket:

A két mozgási modus csatolását a második és negyedik differenciálegyenlet utolsó tagjai definiálják, a csatolás hatékonyságához szükséges sajátfrekvenciák összehangolását az α és β paraméterek egyezésével biztosíthatjuk. A csavarás nélkül kitérített és elengedett test rezgései úgy csillapodnak, hogy közben egyre növekvő forgási rezgések jönnek létre, majd a folyamat fordított irányban zajlik le és ez a ciklikus ismétlődik. Az alábbi videón kiválóan megfigyelhető az energia ide-oda áramlása a két (stabil) modus között.

Nos, ezek alapján már megérthetjük a kelta kő viselkedését. A kelta kő 6 szabadsági fokú. Három kitérés-változója van, az alábbi ábrán szemléltetett függőleges tengely körüli forgás, és vízszintes tengelyek körüli (hosszirányú) hintázás és (oldalirányú) billegés, valamint ezek változását megadó 3 sebesség.

A kő domború oldalának enyhe aszimmetriája miatt az egyik irányú forgás instabil, és erős csatolásban van a kő vízszintes tengelyű hintázási modusával, ezért ez az irányú forgás a hintázáson keresztül elveszíti az energiáját. Viszont a kő aljának hosszirányú és oldalirányú aszimmetriája miatt miközben a kő előre-hátra hintázik az előre dőlés közben többet billen az egyik oldal felé, mint hátra dőlés közben a másik oldal felé. Fokozatosan tehát a hintázás energiája átáramlik a billegő mozgási modusba, amely viszont a korábbival ellentétes irányú (stabil) forgási modussal van csatolásban, így végül a teljes (a súrlódás miatt persze lecsökkent) energia ebben a stabil forgásban jelenik meg. Figyeljük meg, hogy az instabil irányú forgás megszűnésekor előbb hintázást, majd billegést tapasztalunk, csak ezután kezd a kő stabil irányban forogni! Tehát mindenkor van legalább egy mozgási modus, amelyben a kinetikus energia jelen van, így az energia-megmaradás nem sérül. Még jobban szemléltethetjük az energia-áramlást, ha a kelta kő egyik végét erősen lenyomva és elengedve indítjuk a mozgást. Az impulzusmomentum (perdület) megmaradási tétel pedig azért nem sérül, mivel a kelta kő és az alatta levő felület alkotta rendszer nem zárt, hanem a súrlódási erőkön keresztül a Földdel van kölcsönhatásban, tehát miközben a kő forgása megfordul a Föld forgása is (mérhetetlenül parányit) megváltozik úgy, hogy az együttes impulzusmomentum állandó marad. Megjegyzem még, hogy a mozgási modusok közötti csatolások bár domináns irányítottságúak, de nem egzaktul egyirányúak, tehát csekély mértékben mindig van ellentétes irányú energiaáramlás is (néha láthatjuk, hogy a már erősen lelassult stabil forgás is ellentétesre fordul).  A kelta kő mozgásegyenletei nagyon bonyolultak (anholonom kényszerfeltételekkel definiált nem-Hamiltoni rendszer), konkrét felírásuk nem segítené a megértést.

Végezetül egy kis ötlet: amikor fizika-népszerűsítő előadás keretében mutatom be a kelta követ, akkor egyfajta hazugságvizsgáló eszközként tüntetem fel. Kihívok egy önként jelentkezőt és megkérem, hogy az elhangzó (egyszerű) kérdéseimre tetszése szerint hol igazat, hol hamisat válaszoljon, én pedig minden válasza után megpörgetem a kelta követ, mégpedig aszerint a stabil, vagy instabil irányú pörgetéssel indítva, hogy igazat, vagy hamisat válaszolt. A hazugságai esetén azt mondom, hogy lám a kő megváltoztatta a forgását, tehát az ő válaszát is meg kell fordítani, azaz hazudott.